Agosto de 2013
O… LOS INFINITOS
El infinito ha sido siempre un tema de reflexión religiosa,
filosófica y científica. Tres regiones del pensamiento humano con fronteras
difusas y en permanente conflicto.
La idea del infinito produce simultáneamente vértigo y fascinación
ya que es un concepto escurridizo y misterioso que cada vez que nos parece
atraparlo, se nos escapa.
Así, como un cazador tenaz, la matemática ha perseguido a esta
difícil presa que le ha provocado más de una sorpresa, alguna de las cuales, presentaremos
en esta columna.
Ideas del infinito
El infinito es un concepto inherente al pensamiento humano. La clara
percepción de nuestra finitud nos hace tener una idea del infinito desde muy
pequeños. Estamos más dispuestos a aceptar el infinito por abstracto que nos
parezca que la finitud del universo porque eso nos obligaría a aceptar la nada
que resulta mucho más inquietante… Parece que preferimos el miedo al infinito
que el horror a la nada…
Voy a ensayar algunas imágenes, prosaicas algunas y más poéticas las
otras, que pretenden acercarnos a una idea del infinito.
El profesor loco
Se cuenta que un profesor de matemática, el día que tenía que
explicar a sus alumnos lo que era el infinito, se apareció con una caja de
tizas. Empezó a trazar una línea en el pizarrón de arriba hacia abajo. Cuando
se le acabó el pizarrón, siguió en la pared y luego en el piso por el pasillo
que conducía a la salida. Sus alumnos asombrados, lo vieron salir del aula y el
portero, de la escuela, siempre con la tiza en la mano continuando la línea.
Terminó la hora de clase y el profesor había desaparecido. En la calle se podía
ver, calle abajo, la línea de tiza que el profesor no había dejado de trazar,
pero ni rastro de él… Pasó una semana y a la clase siguiente, pasaron unos cuantos
minutos sin que el profesor entrara a dar su clase. De repente, con tiza en
mano, entró el profesor con la barba crecida, sucio y con claros signos de
agotamiento. Siguió trazando una línea hasta que llegó al pizarrón donde se
detuvo y dijo: “Esta es una línea larguísima, pero ni punto de comparación con
el infinito…”
La sala de los espejos
La semana pasada estuve de jurado, junto con otros 16 colegas, en el
Certamen Nacional de
Borges y el infinito
Una figura más poética, es la que nos da Borges sobre el infinito en
alguno de sus cuentos como El Aleph por
ejemplo. Aleph es la primera letra del alfabeto hebreo y simboliza, con un poco
de imaginación, a un
¿cómo transmitir a los
otros el infinito Aleph que mi temerosa memoria apenas abarca? …Como una esfera cuyo centro está en todas
partes y la circunferencia (se refiere al borde)
en ninguna
La idea que toma Borges de los místicos es muy interesante porque se
parece a la actual concepción del Universo: hago centro en cualquier punto, no
importa cual, y considero esferas con centro en ese punto cada vez más grandes.
A medida que aumento el radio (que termina siendo ninguno) van ocupando todo el
espacio.
Los físicos contemporáneos nos explican que una esferita de magnitud
infinitesimal y masa infinitamente concentrada, en algún momento (mal usado la
frase en algún momento pero el
lenguaje y nuestra mente tienen limitaciones para describirlo de otra manera)
produjo el Big Bang y se expandió en
todas direcciones.
Releo el Aleph de Borges porque es fascinante su similitud:
Una esfera cuyo centro está
en todas partes y la circunferencia en ninguna
Las torres de Hanoi
Una última imagen me viene de mis años de estudiante de Álgebra. El
profesor Gentile en su clase de
En un templo de la
India se creía que Dios, al crear el mundo, colocó tres
varillas de diamante como pequeños obeliscos de metro o metro y medio cada uno.
En la primera de las varillas, ensartó 64 discos de oro (con un agujero en el
medio para poder ensartarlos en la varilla) todos de distinto diámetro. Los
discos estaban ordenados por tamaño. En la base de la pila de discos el de
mayor diámetro y arriba de todo el de menor diámetro. Los monjes del templo,
cada hora tenían que mover un disco de oro que estuviera arriba de una pila de
discos, de una varilla a otra, con el objetivo de pasar todos los discos a la
tercera de las varillas. La única regla que había puesto Dios, era que nunca un
disco de diámetro menor podía estar debajo de un disco de diámetro mayor. Es
decir, siempre en una pila de discos, los discos debían estar desde el más
ancho al más pequeño. Cuando los monjes terminaran con el trabajo el mundo
terminaría. Esta tarea tenía entretenidos a los monjes y los obligaba a
organizar turnos para no desobedecer a la divinidad.
El problema con el que nos desafiaba el Dr. Gentile era saber
después de cuántos años sobrevendría el fin mundo si la leyenda fuese profecía.
Volví a hacer la cuenta para esta columna y volví a sorprenderme como cuando era
estudiante. En la cuenta interviene la exponencial y su crecimiento del que ya
hablamos en otra columna y vimos de lo que era capaz de provocar.
Efectivamente, la cuenta nos dice que pasarán más de 2 mil billones de años. Es
decir, si aceptamos que desde el Big Bang han transcurrido 15 mil millones de
años, el Universo es todavía muy joven para estos monjes hindúes. Transcurrirán
140 mil veces más 15 mil millones de años siempre que los monjes sigan allí
haciendo su trabajo...
El número es 2 105 792 702 478 259
La leyenda terminaba diciendo que, una vez completada la tercera
varilla con los 64 discos como Dios manda, empezará la infinita eternidad…
El juego de las Torres de Hanoi se debe al matemático Eduard Lucas y
en las jugueterías no tiene 64 discos sino 5 por las razones que acabo de
contar: no hay humano que pudiera terminar de lograr el objetivo con 64 discos.
Parece que la leyenda también se debe Lucas y que es apócrifa. La usó solo para
promocionar su juego que resulta ser un hermoso juego de ingenio y lo
recomiendo para los que le gusta este tipo de entretenimientos. Como en la
leyenda hay que pasar los 5 discos de la primera varilla a la tercera varilla
con la regla de Dios, de que nunca un disco puede estar arriba de un disco de
menor diámetro que dicho disco. En este caso la cantidad de movimientos
necesarios es igual 31.
El infinito entre los
griegos
Estas imágenes, dan en alguna medida, una sensación de lo que puede
ser el infinito pero lo describen más como un adjetivo que como un sustantivo.
Como me suele pasar en estas columnas, cada vez que voy en búsqueda
de los primeros vestigios de un concepto, casi siempre termino en la cultura
griega y en sus primeros filósofos y matemáticos.
Los griegos definían el infinito como lo que no tiene límite.
Sabemos que nadie puede construir toda la serie de números naturales 1, 2, 3,
4, … pero potencialmente sabemos que
no tiene límite. Los griegos aceptaban este tipo de infinito potencial, aquel al que se podía llegar potencialmente
pero que en realidad era inaccesible. Decía Aristóteles:
No es posible que el
infinito exista como ser o como substancia (lo que
llamaríamos infinito real o actual)… Está
claro que la negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a
consecuencias imposibles... de modo que solo existe potencialmente…
Esta prohibición aristotélica del infinito real no les permitía
concebir, por ejemplo una línea (un segmento de recta) como una colección
infinita de puntos alineados y hubo que esperar hasta finales del siglo XIX
para tener un concepto más claro del infinito actual. Aún hoy, estudios
estadísticos, muestran que más de la mitad de la población no acepta la
existencia del infinito actual. Vamos a tratar en esta columna de sumar algunos
más para el bando de los que creemos en él, por lo menos como un modelo
adecuado para entender el universo.
Zenón de Elea
A pesar de esta aversión por el infinito, los griegos se valieron de
él para argumentar a favor o en contra de teorías propias y ajenas.
Para los pitagóricos el universo era plural y la idea de número era
la base con la se explicaba todo en él. El tiempo y el espacio eran
susceptibles de ser medidos.
Una corriente filosófica rival liderada por Parménides planteaba
justo lo contrario: el Universo era inmóvil e infinito. Zenón de Elea (sur de
Italia) discípulo de Parménides, generó una serie de argumentos que hoy se
conocen como Paradojas de Zenón que inauguraron el método dialéctico de
reducción al absurdo hoy imprescindible no sólo en la matemática sino también en
las ciencias, sean éstas sociales o exactas… Supongo que tu hipótesis es
verdadera y llego a una contradicción, por lo cual tu hipótesis es falsa.
Por ejemplo, Zenón, fiel a su maestro que decía que el universo era
inmóvil trató de demostrar que el tiempo era indivisible y que, por lo tanto el
movimiento era imposible y que sólo es una percepción de los sentidos. ¡Menudo
enunciado para ser digerido!
El argumento de Zenón era el siguiente. Si quiero ir de Buenos Aires
a Mar del Plata, digamos a 400
km una de la otra, si marcho a una velocidad constante
de 100 km
por hora, todo el mundo sabe que tardaré 4 horas en llegar. Pues bien, para
recorrer los primeros 200 km
me llevará 2 horas de tiempo, pero me quedarán 200 km por recorrer. Para
recorrer estos 200 km
tendré que recorrer primero, 100
km en 1 hora más. Ya van 2 horas más 1 hora, 3 horas de
viaje y todavía me faltan 100
km por recorrer. Para recorrer estos 100 km , primero hay que
recorrer 50 km .
Media hora más de viaje y todavía faltan 50 km . Para recorrer la mitad de ellos, 25 km , tendré que usar 15
minutos más, quedan 25 km .
Pero antes debo recorrer la mitad de 25 km en la mitad de 15 minutos, quedan 12 km y medio. Antes de
llegar tengo que recorrer la mitad de 12,5 km en la mitad de la mitad de 15 minutos y
así siguiendo, siempre va a faltar un tramo por recorrer para el que tendré que
gastar un instante más de tiempo, de modo que tardaré una cantidad infinita de
instantes (cada uno la mitad del anterior) en llegar. Concluía Zenón, como la
suma infinita de tiempos me dará infinito tiempo, nunca podré llegar al Casino
de Mar del Plata ni mojarme los pies en el mar, por lo que el movimiento es
imposible.
Los amantes del mar pueden quedarse tranquilos porque lo de Zenón es
falaz, en el sentido de que la suma de infinitos números SI puede ser un número
finito, como es en este caso. En el curso de Análisis del Ciclo Básico,
nuestros estudiantes aprenden a sumar sumas infinitas y ven cómo esta suma
geométrica termina dando 4 hs como era de esperar. La historia fue un poco
injusta con Zenón, porque a pesar de estar equivocado, dio lugar a casi 2 mil
años de cavilaciones sobre el tema e inauguró una manera de razonar que fue
madre de muchísimas teorías. Vaya pues mi homenaje a Zenón que más que griego
parece un personaje gauchesco.
Los infinitos de Cantor
Me voy a meter en un terreno inquietante: el del infinito actual o
real al que Aristóteles se negaba siquiera considerar. Más aún, voy a tratar de
convencerlos de que hay más de un infinito. Es una buena oportunidad para
cambiar de radio o para que los que nunca pensaron en estas cuestiones se sorprendan
como me sorprendí yo.
En 1870 el matemático George Cantor, ruso de nacimiento y residente
en Alemania de niño, enunció un resultado importante del análisis matemático
sobre la representación de fenómenos físicos con sumas infinitas (llamadas
series de Fourier) un poco más complejas que las sumas de Zenón. Pero su resultado
tenía un problema: tenía excepciones… y no eran pocas. Es más, fallaba en
infinitas ocasiones. Esto lo motivó a estudiar un poco más la estructura del
conjunto de números reales.
Así comenzó a nacer lo que se dio en llamar teoría de conjuntos que revolucionó la matemática de la primera
mitad del siglo XX y la educación matemática de gran parte de la segunda mitad.
Antes de Cantor, el infinito se representaba con el famoso símbolo
del ocho acostado que al igual que el halo de los santos, da idea de algo que
nunca termina. La carta de Tarot que representa al gran Mago lo hace con un
halo con el símbolo del infinito como el halo de los santos. En realidad no es
un ocho acostado sino una curva que en geometría se llama lenmiscata, pero eso es
otra historia.
Cantor vislumbró la idea de que había distintos tipos de infinito.
Es allí donde aparece la primera letra hebrea Aleph que Cantor usa para indicar
los sucesivos infinitos. Con Aleph – cero, Cantor indicó el primer infinito,
con Aleph – uno al siguiente y así siguiendo… Los llamó números transfinitos.
El Hotel de Hilbert
Pero vayamos más despacio…
Para entender la idea de Cantor, tenemos que recordar qué quiere
decir contar.
Imaginemos que tenemos un hotel con 10 habitaciones singles y 10
pasajeros que llegan en forma independiente. Uno puede decir que hay tantas
habitaciones como pasajeros. Pero aún sin saber la cantidad de habitaciones y de
personas podemos saber, si dos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos.
Pensemos en dos chicos de dos o tres años con una bolsa de caramelos. No saben
cuántos hay ni saben contarlos pero si pueden repartirlos: uno para vos, uno
para mí, uno para vos, uno para mí… hasta terminar la bolsa. Si hay una
cantidad par de caramelos ambos chicos, que no saben contar, tendrán la certeza
de que tienen la misma cantidad de caramelos. En el caso del hotel también se
podría haber llegado a la misma conclusión haciendo entrar en cada habitación
un pasajero y comprobando que se establece una correspondencia perfecta entre
cantidad de habitaciones y cantidad de pasajeros.
Cantor observó que entre conjuntos finitos es lo mismo decir que
tienen la misma cantidad a que entre ellos se establece una correspondencia
perfecta, “uno a uno” entre ellos y usó esta idea simple y elemental para
contar conjuntos infinitos. Entre conjuntos infinitos se pierde la idea de
cantidad pero no la de correspondencia perfecta “uno a uno”. Para dos conjuntos infinitos podemos
establecer correspondencias perfectas como hicimos entre los 10 pasajeros y las
10 habitaciones o con los caramelos. Pero comienzan a ocurrir cosas raras…
Sigamos con el ejemplo del hotel. Ahora tenemos un hotel de
infinitas habitaciones singles. Las hemos numerado 1, 2, 3, etc.
Imaginemos que tenemos todas las habitaciones ocupadas. En estas
circunstancias llega un pasajero pidiendo una habitación.
-
Señor, lamentablemente tenemos
el hotel lleno y no le podemos dar una habitación.
-
¿Pero cómo? Es de noche, estoy
cansado y me dijeron que el hotel Hilbert – que así se llama nuestro hotel – tiene infinitas habitaciones.
-
Si señor, pero están todas
ocupadas. Es imposible darle un lugar. Lo lamento.
Sigue la discusión hasta que llega el conserje, que en nuestro
cuento se llama George (como Cantor) e interviene para solucionar el problema.
-
No se preocupe, el hotel
Hilbert nunca deja a un pasajero sin hospedaje. En unos momentos le haremos
lugar.
¿Qué hace nuestro conserje George? Le pide al huésped de la
habitación 1 que se pase a la 2, al de la 2 que se pase a la 3, al de la 3 que
se pase a la 4 y así siguiendo. Terminado este proceso infinito, nos queda
libre la habitación 1 para el recién llegado. Todos felices.
Pero al día siguiente, llega una delegación de infinitas personas
que quieren alojarse en el hotel Hilbert. Nuestro conserje no pierde la calma.
Le pide ahora al huésped que ocupa la habitación 1 que se mude a la 2, al de la
2 que se mude a la 4, al de la 3 que se mude a la 6 y así a cada huésped que se
mude a la habitación que tenga como número el doble de la que estaba ocupando.
Quedan vacías todas las habitaciones con numeración impar (¡que son infinitas!)
y pueden entrar los nuevos e infinitos huéspedes. En otras palabras, una parte del todo es igual al todo. La
cantidad de pares (que es una parte propia de todos los números) resulta ser la
misma que la de todos los números.
Esta perplejidad del hotel fue creada por David Hilbert, con la
intención de explicar las cuestiones paradójicas que surgen con los números transfinitos introducidos por Georg Cantor.
El menor número transfinito (aleph–cero:
א0) es el que representa la
cantidad de números naturales (1, 2, 3,…). Debo apresurarme a decir que no es
un número propiamente dicho sino un indicador de que todos los conjuntos que se
puedan poner en correspondencia “uno a uno” con él tienen en este nuevo mundo
del infinito, la “misma cantidad” de elementos.
Como vimos se producen curiosidades tales como que cualquier
subconjunto infinito propio (por ejemplo el de los números pares) tenga la
misma cantidad de elementos que el total de números naturales.
La correspondencia perfecta o “uno a uno” que demuestra esta afirmación es la que asigna a cada número su
doble.
n -----> 2n
Densidad e infinito
El flujo continuo que imaginaban los pitagóricos con el que se
explicaba el universo se basaba en la idea de la densidad que tienen los números y que también nos hace chocar con
la idea del infinito. Todos sabemos que después del 4 viene el 5, cuando
estamos usando los números para contar (los días del mes por ejemplo). Sin
embargo, esto deja de ser cierto si a la colección de números les agregamos las
fracciones. Entre 4 y 5 está por ejemplo, el número 4,5. Entre el 4,5 y el 5
está el 4,75… Siempre entre dos números cualesquiera hay otro número
fraccionario. Se pierde la idea de “número siguiente”. Mientras que entre los
naturales el siguiente del 4 es el 5, no hay un número siguiente al 4 entre los
números fraccionarios. Esto es inquietante. Cada candidato a ser el siguiente,
por esta idea de la densidad, encuentra uno anterior (el promedio entre 4 y el
candidato por ejemplo). De la misma manera, no hay número siguiente al cero.
Por pequeño que elija a un supuesto candidato siempre puedo encontrar a otro
más pequeño que él (la mitad del candidato por ejemplo).
Vuelvo a valerme de Borges que, como no podía ser de otra manera, se
fascina con esta idea y lo refleja en su cuento el Libro de Arena. En un momento al personaje (que es el mismo Borges)
es desafiado a abrir el libro de Arena por la primera hoja:
Me dijo que su libro se
llamaba el Libro de Arena porque ni el libro ni la arena tienen principio ni
fin (otra vez el infinito en la literatura de
Borges)
Me pidió que buscara la
primera hoja. Apoyé la mano izquierda sobre la portada y abrí con el dedo
pulgar casi pegado al índice. Todo fue inútil: siempre se interponían varias
hojas entre la portada y la mano. (Infinitas hojas
me permito corregir a Borges). Era como
si brotaran del libro.
Otra vez Borges juega con el infinito en su literatura con una
sutileza y maestría maravillosa.
Las fracciones no son
tantas como parecen
Pero volvamos a George Cantor y a su obsesión por el infinito. Hasta
aquí hemos encontrado que la cantidad de números naturales es la primera clase
de número transfinito. Cantor se preguntó ¿qué pasa con el conjunto de las
fracciones?
Para su sorpresa (y la de muchos de sus colegas) vio que las
fracciones eran la misma cantidad que los números naturales. Es decir que
pueden venir infinitos pasajeros al hotel de Hilbert cada uno con una fracción distinta
en su remera, que todos encontrarán una habitación para alojarse. Esto ya era
mucho para Cantor. Le escribió a su amigo y matemático Dedekind “lo veo pero no lo creo”. Pero era creer
o reventar porque la demostración de Cantor estaba allí. Cantor ideó una simple
correspondencia “uno a uno” que asocia cada número natural a cada fracción.
La cuento rápidamente pero si no se entiende, los invito a buscarla
en la web (Ver Segunda Muestra de Matemática) o en el libro Qué es la matemática de Courant – Robins o también en unas
conferencias del escritor Guillermo Martínez editadas como Borges y la Matemática del que tomé algunas cosas para la columna
de hoy.
Supongamos que el Hotel de Hilbert tiene la siguiente disposición de
sus habitaciones. En el primer piso está el comedor y el centro de reuniones. Las
habitaciones están ubicadas a partir del segundo piso: una habitación en el
segundo piso, 2 habitaciones en el tercero, 3 en el cuarto y así hasta el
infinito. Están numeradas 1, 2, 3, etc. empezando desde el segundo piso hacia
arriba. De modo que el hotel tiene la misma capacidad de siempre: aleph – cero
podemos decir ahora con autoridad académica.
Llegan al hotel infinitos huéspedes, cada uno con una remera que
tiene dibujada una fracción. Está el señor que tiene la remera con 3/5 y el
señor o la señora que tiene en la remera el 25/2. Todas. Incluso algunas con
remeras que representan el mismo número: por ejemplo dos hermanos que tienen el
1/3 uno y 2/6 el otro.
-
Son infinitos – dice el empleado
que está en el mostrador. ¡Para colmo están densos
y ansiosos con conseguir su habitación! Se
pegotean unos con otros…
George, nuestro conserje, una vez más, viene en nuestra ayuda.
Una fracción se arma con dos números: el numerador que va a arriba y
el denominador que va debajo de la raya de fracción. George suma esos dos
números y con eso determina el piso en el que va a ubicar a ese huésped.
En el segundo piso, coloca en la habitación 1, la única del piso, al
1/1 que es la única fracción que suma 2.
En las dos habitaciones del tercer piso ubica 1/2 y al 2/1.
En las tres habitaciones del cuarto piso duermen el 1/3 , 2/2 y 3/1
… …
En cada piso se alojan las fracciones que tienen la misma suma entre
numerador y denominador. Por ejemplo el
25/2 se aloja en el piso 27 junto entre otros, con el 24/3. Nuestro conserje
encontró una correspondencia perfecta “uno a uno” de modo que hay tantas
fracciones como números naturales.
Lo veo y no lo creo dijo Cantor. Su incredulidad era comprensible. Recordemos la idea
de Borges en el Libro de Arena. Entre el cero y el 1 hay infinitos fracciones.
El cero sería la tapa del libro de Borges mientras que el 1 sería la
contratapa. Por más que Borges se esforzara siempre cuando abría el libro quedaban
infinitas páginas antes. Más desconcertante aún (aunque Borges no lo dice),
según la correspondencia de Cantor, es que la hoja en la que abría Borges el
libro de Arena tenía un número de página… Lo
veo y no lo creo. ¿Cómo creer algo que choca tanto con la intuición?
Un infinito más grande
Hasta aquí, uno podría explicar estos sorprendentes descubrimientos
diciendo que todos los conjuntos infinitos pueden ponerse en correspondencia
perfecta y que es poco interesante estar contando clases de infinitos ya que
todo es lo mismo. De hecho vimos que los fracciones que son densas, están
pegoteadas al punto que siempre entre dos podemos encontrar otra, también son
Aleph – cero como los naturales y todas podrían descansar en el hotel de
Hilbert. Pero Cantor fue más allá.
En términos de los números decimales, los números fraccionarios son
aquellos que tienen un desarrollo que termina (1 medio es igual 0,5 y siguen
ceros) o que tienen un desarrollo periódico (0,3333,… es un tercio y
0,201320132013… también es un número fraccionario que se puede calcular).
Los números que no son fracciones se llaman irracionales y tienen
desarrollos decimales no periódicos. Por ejemplo la raíz cuadrada de 2 (lo que
mide la diagonal de un cuadrado de lado 1) o pi son ejemplos de números
irracionales. Los pitagóricos fueron los primeros en darse cuenta de que había
medidas, como la diagonal del cuadrado de lado 1 que eran incomparables
(inconmensurables es más preciso) con fracciones exactas de la unidad. Fue un
golpe terrible para su filosofía, al punto de que cuenta la leyenda que Hipaso,
su descubridor, fue asesinado por la secta por tal herejía.
Cantor descubrió que cuando agregaba los números irracionales, los
que tienen desarrollo decimal no periódico, éstos eran más que los naturales y
que las fracciones. En otras palabras que si todos esos números venían al hotel
de Hilbert, no alcanzarían las habitaciones para ubicarlos y nuestro ingenioso
conserje se vería superado por las circunstancias…
Aunque la demostración de Cantor es elemental y no requiere
matemáticas sofisticadas, no puedo contarla por radio. Solo diré, en honor a
Zenón, que usó la misma idea de reducción al absurdo para su demostración y que
es de una belleza infinita. No dejen de verla en algún libro o en la web.
Lo que puedo es tratar de convencerlos de que es como Cantor dijo:
los reales son más.
Aceptemos, como todos vimos en la escuela y les dije hace un momento,
que las fracciones tienen un desarrollo decimal que en algún momento termina o
se repite. Las así llamados números decimales periódicos.
Los no periódicos son los restantes números reales que llamamos
irracionales.
Ahora imaginemos que tenemos un dado de 10 caras, con los números
del 0 al 9.
Con Analía jugaremos a un juego imaginario e infinito:
Yo voy a apostar por los irracionales y Analía por las fracciones.
Con el dado nos vamos a construir un número decimal. Si el número
resultante es irracional, yo gano, si sale fraccionario, gana Analía. El número
lo vamos a ir construyendo al azar con el dado de la siguiente manera.
Tiramos el dado una vez. Supongamos que sale 4 por decir algún
número. Anotamos 4. Volvemos a tirar el dado y sale 1 que será el primer decimal.
Anotamos 4,1. Otra vez y vuelve a salir 4, anotamos pues 4,14. Una vez más y
sale 7, anotamos 4,147. Repetimos esto infinitas veces y nos queda al final del
juego un número decimal con infinitas cifras decimales.
Si tiene una cola infinita de ceros o se repite una tira de su parte
decimal a partir de una tirada y para siempre, será una fracción y ganará
Analía. Pero si el número no tiene ninguna regularidad en su desarrollo decimal
que lo haga periódico, yo gano.
¿Qué les parece que será más probable? ¿Ganaré yo o ganará Analía? ¿A
favor de quién van las apuestas?
En términos de probabilidad, Analía tiene probabilidad cero de ganar
mientras que yo tengo probabilidad del 100 por 100 de obtener un número no
periódico. Y esto ocurre porque hay más números irracionales que fraccionarios.
Una vez más, podemos decir: Lo veo y no lo creo
El infierno de Cantor
George Cantor nació en Rusia, de padres dinamarqueses, pero desde los
11 años vivió en Alemania. En 1874, junto con el nacimiento de su Teoría de
Conjuntos y su “aritmética de los números transfinitos”, nacía una feroz
oposición a ella, encabezada por uno de sus maestros, L. Kronecker. La idea del
infinito, que como vimos siempre estuvo en el foco de controversias, hicieron
eclosión en la vida y la obra de Cantor. Pronto estas diferencias científicas
se convirtieron en cuestiones personales. Kronecker llegó a calificar de
“renegado” y “charlatán” a Cantor y a negar o demorar la publicación de alguno
de sus trabajos en la revista en la que era editor: Los números los hizo Dios, lo demás es invento de los hombres,
escribió Kronecker para descalificar a Cantor. Esta disputa personal no ayudaba
a una salud débil de Cantor que toda su vida padeció de una serie de colapsos
nerviosos que hoy se cree eran una psicosis
maníaca depresiva que se fue agudizando con los años. Algunos especulan que
su enfermedad, lejos de desempeñar un papel totalmente negativo, pudo haber
proveído de la energía y tenacidad obsesiva con las que promovió sus ideas. Pero
me cuesta consolarme con esa idea tan deshumanizante.
En 1884 tuvo la primera de esas crisis nerviosas que lo iban a
acompañar durante los últimos 33 años de vida. Hacia el final de su vida,
obtuvo el merecido reconocimiento. Murió en 1918 en un sanatorio para enfermos mentales.
El reconocimiento de uno de los matemáticos más grandes de su época,
basta para dimensionar su obra. Dijo Hilbert de la aritmética transfinita:
El más sorprendente
producto del pensamiento matemático y una de las realizaciones más bellas de la
actividad humana en el dominio de la inteligencia pura.
Nadie nos expulsará del
paraíso que Cantor ha creado para nosotros.
La hipótesis del continuo
Una última sorpresa.
Cantor llamó a la cantidad de números reales con la letra c de continuo
porque los números reales “llenaban” todas las medidas posibles y conjeturó
que entre el Aleph – cero de los números naturales y las fracciones y el continuo no había ningún número
transfinito. Es decir, que el continuo era Aleph – uno. La Hipótesis del Continuo que así se pasó a llamar esta
conjetura, fue formulada por George Cantor en 1874 pero no logró demostrarla a
pesar de que le dedico muchísimo tiempo y esfuerzos.
Hilbert, lo presentó entre los 23 problemas célebres a resolver
durante el siglo XX en su conferencia en París del año 1900 durante el Congreso
Internacional de Matemática
A mitad del siglo Gödel, demostró que había ciertos enunciados de la
matemática que eran indescidibles por verdad o mentira con las premisas o
axiomas con los cuales se construía cualquier teoría matemática. Esto inquietó
a los matemáticos pero Gödel no pudo mostrar ningún ejemplo. Solo demostró que
existían tales enunciados.
En 1963 Paul Cohen, demostró que la Hipótesis del Continuo
es un problema indecidible en el
sistema axiomático habitual. Esto es que el sistema axiomático no tiene
contradicciones sea cierto o no la
Hipótesis del Continuo. ¡Bien difícil para entender! Será para contar en una próxima columna.
El desafío
Me despido de este espacio, como es habitual, con un desafío.
Se trata de un juego. Sobre una mesa rectangular (no son importantes
sus medidas) Analía y yo jugamos al siguiente juego. Por turno, cada uno coloca
una moneda de un peso en la mesa. Tenemos muchas monedas. La única condición es
que la moneda que colocamos, no se encime con ninguna moneda ya colocada ni que
tampoco mueva o empuje a ninguna moneda ya colocada. Podemos agregar como regla
que la moneda no sobresalga de la mesa para evitar conflictos con la gravedad o
el viento. La mesa se irá llenando de dinero. Llegará un momento en que será
difícil encontrar un lugar para ubicar la moneda. Hasta el punto que alguno de
los dos no lo podrá hacer. Al que le pasa eso pierde el juego y el otro se
queda con todas las monedas.
El desafío es:
¿Qué conviene, ser el primero en jugar o el segundo?
Respondida esta pregunta, ¿cómo debo jugar para asegurarme el
triunfo?
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