CRECIMIENTO EXPONENCIAL

Julio de 2013

Un desafío a la intuición 

¿Qué tienen que ver el Ajedrez, las finanzas y los terremotos con doblar una hoja de  papel?

Trataremos de establecer una relación entre estas cuestiones aparentemente distantes entre sí.

La comprensión de ciertos procesos nos ayuda a pensar y a entender algunos comportamientos generales. Muchas veces la matemática nos brinda una herramienta eficaz para esta comprensión y nos ayuda a desarrollar un sano espíritu crítico.

Es común escuchar que tal o cual cosa (en general una desgracia) crece en forman exponencial: “el precio del pan crece exponencialmente”, “tal epidemia está creciendo a escala exponencial”, “la deuda externa crecía en forma exponencial”, “tal candidato está creciendo en las preferencias electorales en forma exponencial”… Bueno, a veces exageran…La cuestión es saber cuándo.

El crecimiento exponencial aparece en varios modelos matemáticos para estudiar cuestiones tan variadas como,

ü      Crecimiento poblacional.

ü      Propagación de enfermedades.

ü      Intereses de una deuda.

ü      Energía atómica.

ü      Datación de restos fósiles.

ü      Autenticidad de obras de arte.

entre muchas otras.

Pero el objetivo de esta columna no es extenderme en las aplicaciones del crecimiento exponencial, sino en que el oyente se haga una idea de qué se quiere decir cuando se dice que algo crece exponencialmente y juzgar así si están exagerando o se habla con propiedad.

Para ello voy a empezar con un experimento que será imaginario para que todos lo podamos hacer, ya sea que estemos en la cama, en el colectivo o estudiando para un final.

Tomemos una hoja rectangular de papel. No importa el tamaño: puede ser una de carpeta, una del diario o de una publicidad que nos hayan dado. Imaginemos que es una A4 para fijar ideas. Podemos decir que el grosor de la hoja es de una décima de milímetro. En ese grosor vamos a poner la atención. Hasta aquí no hicimos nada. Ahora doblamos la hoja por la mitad. El grosor por lo tanto se duplica: dos décimas de milímetro. Volvemos a doblar la hoja. El grosor se vuelve a duplicar. Es decir mide 4 décima de milímetro. Una vez más y otra y otra… ¿Se hace difícil, no? Dije que era imaginario. Supongamos que pudiéramos doblar la hoja 50 veces (no lo intenten porque es imposible). En cada doblez, el grosor se duplica. Crece exponencialmente (un matemático agregaría en base 2 por eso de que se duplica cada vez). Después de 50 dobleces… ¿cuál es el grosor? Usemos la intuición. Les doy algunas opciones para que no tengan que hacer la cuenta. Es grueso como

·        Un libro gordo. Un guía de teléfonos por ejemplo.

·        La altura de Analía que mide 1,60 metros

·        La altura de este estudio de radio, que tendrá unos 3 metros.

·        La altura del obelisco (67 metros)

·        La distancia de la Tierra a la Luna.

·        La distancia de la Tierra al Sol.

Si se hace la cuenta (y el oyente la puede hacer para convencerse si lo desea, hay que hacer 2^50 (2 elevado a la 50) por 0,1 milímetros) obtenemos un resultado que sorprende al más entrenado en estos cálculos: La cuenta de un poco más de 100 millones de kilómetros. La distancia de la Tierra a la Luna es de unos 400 mil kilómetros. La de la Tierra al Sol es de aproximadamente 150 millones de kilómetros. Es decir que con un doblez, más, volvemos a duplicar, superamos con creces esa distancia de la Tierra al Sol.

Este experimento nos ilumina sobre que el crecimiento exponencial es enorme y difícil de dimensionar intuitivamente.

Esto de no poder dimensionar bien es lo que le pasó a un legendario rey de la India ante el inventor del juego del ajedrez. En su caso no supo dimensionar el alcance de sus promesas. La historia, en forma resumida, es la siguiente:

 Cuenta la leyenda que hace mucho tiempo, tanto que la historia no da cuenta de ello, el rey Iadava era señor de la provincia de Taligana en la India y fue uno de los más sabios y generosos que haya existido. La guerra golpeó en sus fronteras cuando un brutal invasor intentó invadir su territorio. El rey Iadava poseía un talento militar no frecuente y con un pequeño ejército elaboró un plan de batalla tan hábil y tan bien ejecutado que logró vencer al invasor. Sin embargo, entre los jóvenes caídos en el campo de batalla se encontraba su hijo y gran visir, el príncipe Adjamir que había defendido con patriotismo, en lo más encendido del combate, la posición  que le había dado la victoria a su padre.

El rey Iadava prohibió toda celebración y fue invadido por una gran amargura y tristeza que comenzaron a repercutir en la buena gestión del reino, ya que cada vez con menos frecuencia se ocupada de los asuntos de su pueblo. El rey reconstruía en su mente y en un pizarrón improvisado en la arena, una y otra vez las peripecias y circunstancias en las que Adjamir había muerto, preguntándose si podría haberlo evitado.

Venido desde los confines del reino, un joven brahmán le solicitó una mañana audiencia al rey. No era la primera vez que lo intentaba pero el rey se negaba siempre a recibirlo. Pero esta vez accedió al pedido del brahmán. Sessa, que así se llamaba el joven, le traía de regalo un juego que había inventado con el objeto de distraer y entretener al monarca y mitigar así su tristeza y amargura. El rey Iadava era muy curioso de modo que no pudo contener el deseo de aprender este nuevo juego que no era otro que el juego del ajedrez.

Sessa explicó al rey y a sus cortesanos en qué consistía el juego y las reglas esenciales para poder jugarlo. Las piezas pequeñas, los peones, representan la infantería que avanza hacia el enemigo. Secundan a éstos, los elefantes de guerra (las torres), la caballería que pueden saltar por encima de otras piezas y los dos visires del rey (los alfiles) que son dos guerreros llenos de nobleza y de prestigio. El rey quiso saber por qué la reina estaba dotada de amplios movimientos y era más poderosa y más eficiente que las otras piezas, incluido el rey.  Le explicó Sessa que la reina representaba el espíritu del pueblo y que es allí donde reside la fuerza del trono. La pieza que representa al rey es débil si se encuentra aislada pero es muy poderosa si está amparada por las demás piezas del juego.

Al cabo de pocas horas, el rey era un experto jugador de ajedrez y lograba vencer a sus ministros y colaboradores. En un momento dado, en pleno juego, el rey observó con gran sorpresa que la posición de las piezas parecía reproducir la batalla final en la que su hijo había caído. El inteligente brahmán le hizo observar que, para ganar esa partida, era indispensable sacrificar al alfil (al gran visir) y que ello, a veces, es lo que debe ocurrir fatalmente, para asegurar la paz y felicidad del pueblo. 

El rey Iadava comprendió la lección y dijo que no creía que el ingenio humano pudiera producir otro juego tan interesante e instructivo como el ajedrez. En recompensa, le dijo a Sessa, que pidiera lo que deseara, dentro de lo que él podía darle, ya que le sería concedido. Sessa agradeció la generosidad del rey pero dijo que le alcanzaba con la satisfacción que le daba saber que el ajedrez aliviaría las horas de tristeza y melancolía que al rey solían perturbar. Dijo el rey sorprendido, que la modestia, cuando es excesiva, no es virtud. Entonces, Sessa quiso darle al rey Iadava una última lección. No deseo, poderoso rey, ni oro, ni tierras, ni palacios. Deseo mi recompensa en granos de trigo. Poniendo el tablero de ajedrez en el medio del recinto, dijo: me darás un grano de trigo para la primera casilla del tablero, dos para la segunda, cuatro para la tercera, ocho para la cuarta y así,  duplicando la cantidad de granos hasta llegar a la última de las 64 casillas del tablero. Todos los miembros de la corte se rieron junto con el rey por lo exiguo del pedido de Sessa. Eres un insensato dijo el rey por pedir recompensa tan ridícula. Mandó el rey a calcular la cantidad de granos que debía darle a Sessa en recompensa. Al cabo de unas horas vinieron los contadores y algebristas de la corte con caras de preocupación.

Rey Iadava, calculamos el número de granos de trigo y obtuvimos un número inconcebible para la imaginación humana. Sembrados todos los campos de la India, no darían ni en 2 mil siglos la cantidad de trigo requerida. El número de granos es

18. 446.744.073.709.551.615 granos

Esta cantidad de granos es enorme. Equivale a 9 billones de toneladas de trigo. Se acabaría el problema del precio del pan por muchos siglos…

Concluyó Sessa que desagraciado es el gobernante que no es capaz de dimensionar el alcance de sus promesas. Le daba así al rey Iadava una última lección de humildad.

Esta historia la leí por primera vez en el hermoso libro El Hombre que calculaba de un escritor brasileño que firma con el seudónimo Malba Tahan.

Un experimento y una leyenda me han servido para explicar qué es el crecimiento exponencial. Pero no quiero dejar afuera la vida real. Quiero contarles brevemente la relación que hay entre la exponencial y los terremotos. ¿Cómo hacen los expertos en sismos para medir su intensidad?

La forma más extendida a nivel de los medios es la escala de Richter, creada por este geólogo y un colega en 1935. Es una escala arbitraria que asigna un número para cuantificar la energía liberada por un terremoto y fue diseñada en función del tipo de sismómetro usado por aquel entonces. Por las limitaciones tecnológicas de ese sismómetro, la escala de Richter no permite medir correctamente temblores que superen los 6,8. Por ello, en 1975, se ha modificado esta escala por otra llamada de momento sísmico y que tiene la gran ventaja que coincide con la escala de Richter cuando la magnitud está por debajo de 6,8 y puede medir magnitudes mayores. De modo que cuando en los medios de comunicación escuchamos que un terremoto ha sido de magnitud 7 u 8 en la escala de Richter no es correcto. Se está usando la escala de momento sísmico.

La relación que tienen estas escalas con la exponencial es que en sus fórmulas aparece un logaritmo (Analía acaba de poner cara de que nos estamos quedando sin oyentes al usar esa palabra…)  Trataré de explicar brevemente esta palabra terrible. Aunque no se pueda creer, los logaritmos fueron creados para facilitar las cuentas por John Napier (Neper) alrededor del 1600. El logaritmo convierte productos en sumas y divisiones en restas y cuando no existían las calculadoras estas cuentas eran muy penosas cuando había que efectuarlas sistemáticamente. El astrónomo Kepler, contemporáneo de Neper, hizo un buen uso de ellos. Luego, con la revolución industrial y hasta el advenimiento de las computadoras, los logaritmos jugaron un rol esencial en los cálculos. Hoy cumplen otras funciones importantes en la ciencia como esta que les cuento. El logaritmo, es la operación inversa de la exponencial. Es decir, al crecimiento descomunal de la exponencial ilustrado en el cuento del ajedrez, se contrapone un crecimiento lentísimo del logaritmo.

El logaritmo de un número, dicho rápidamente, cuenta la cantidad de ceros del número. Por ejemplo, el logaritmo de 100 es 2 porque 100 tiene dos ceros, el logaritmo de 1000 es 3. El logaritmo de 500 estará pues entre 2 y 3. El logaritmo de 1 millón es 6. Observemos que para pasar de 3 a 6 con el logaritmo tuvimos que pasar de 1000 a 1 millón. Allí se ve lo del crecimiento lento.

           

Volvamos a la escala de Richter o la de momento sísmico. El logaritmo incorporado a estas escalas hace que los valores asignados a cada nivel aumenten a escala logarítmica. 

Por ejemplo, si la energía liberada por un terremoto la asimilamos con la cantidad de TNT (parecida a la dinamita) tenemos las siguientes equivalencias:

Escala Richter              TNT                    Referencia

1,0                              170 g                     Pequeña explosión en un sitio en construcción.

2,0                              910 g                     Bomba convencional. Segunda guerra.

            3,0                              181 kg                   Planta de gas

            4,0                              6 ton                      Bomba atómica

            5,0                              200 ton                       

            6,0                              1270 ton                Terremoto de Oxaca 2012 (México)

            7,0                              200 mil ton             Terremoto de Pto Príncipe 2010 – Haití

            8,0                              10 mill ton              Terremoto de Pisco 2007 – Perú

            9,0                              240 mill ton            Japón 2011

           

El Desafío de hoy

Le voy a proponer a Analía un negocio y los oyentes tendrán que decirnos si mi propuesta es una ingenuidad de mi parte o bien, es una estafa.

La propuesta es la siguiente: nos intercambiamos nuestras cbu bancarias y desde el lunes yo le depositaré cada día, durante 20 días hábiles, 100 mil pesos cada día.  Hasta aquí parece muy atractivo para Analía aceptar el negocio. A cambio, Analía, depositará en mi cuenta el primer día, 2 pesos, el segundo día, 4 pesos, el tercer día, 8 pesos y así hasta el día 20, duplicando cada vez el depósito con respecto al día hábil anterior.

El desafío pues, es saber quién de los dos, hará un buen negocio con esta propuesta que le hago a Analía y que estamos ya firmando ante escribano.

Hasta la próxima.