EL PROBLEMA DE LOS CUATRO COLORES

           

Los cuatro colores

            Hay problemas de la matemática que empiezan con una pregunta inocente y van cobrando importancia a medida que se resiste a los mejores intentos de solución. Este es el caso del llamado Teorema de los cuatro colores que nos brinda un ejemplo claro de cómo trabaja la matemática a lo largo del tiempo.

            Los cartógrafos supieron desde siempre que cuatro colores son suficientes para colorear cualquier mapa plano, de modo que países con frontera común tuvieran colores distintos.

            En 1852 un estudiante le preguntó a su profesor de matemática, si conocía una demostración de tal hecho. El profesor era nada menos que Augustus De Morgan, un inglés que hizo aportes significativos a la teoría de conjuntos.

            Sin embargo al principio, la pregunta no despertó el interés de la comunidad matemática ni tampoco supieron responderla los pocos que lo intentaron. La dificultad del problema radica en que hay infinitos mapas planos posibles y de las formas más diversas. No hay una manera exhaustiva de atacar el problema porque aunque pruebe con muchos mapas, siempre hay otro con el que queda probar y la forma de los países puede ser de lo más caprichosa que uno se pueda imaginar.

Pasaron 25 años y en 1878 uno de los padres del álgebra moderna, Arthur Cayley consideró interesante el problema e intentó resolverlo pero sin éxito. Esto le dio visibilidad al problema y muchos otros se interesaron en él. Un año después, un abogado inglés de nombre Alfred Kempe presentó una demostración que reducía el problema a analizar cuatro configuraciones básicas de mapas.

Mapa de Martin Gardner. Antes de que saliera
la solución de Apel y Haken hizo una broma
afirmando que se necesitaban cinco colores.

El problema parecía resuelto. Sin embargo, 11 años después, en 1890, otro inglés, Percy Heawood, descubrió un error insalvable en una de las reducciones de Kempe. El problema quedó pues sin solución (abierto decimos los matemáticos) por muchos años. Conforme el tiempo pasaba, la fama del problema del mapa de los cuatro colores iba creciendo y el desafío era irresistible para muchos matemáticos y aficionados.

En 1969 H. Heesch introduce un método novedoso de análisis. Siguiendo las ideas del equivocado Kempe y las de Heawood (que también atacó el problema sin éxito), reduce el problema a 8900 configuraciones básicas. Una cantidad demasiado grande para poder analizar una por una pero un salto inmenso, teniendo en cuenta de que hay infinitos mapas.

Un día de 1976 el New York Times tenía en su portada la foto de dos matemáticos sonrientes que habían resuelto el problema. Kenneth Apel y Wolfang Haken consiguieron reducir la cantidad de configuraciones básicas a analizar solo 1476 mapas. Todavía un número grande para hacerlo uno por uno. Pero esta vez, contaban con un auxiliar inestimable que los matemáticos del pasado no habían tenido: la computadora. Appel y Haken diseñaron ingeniosos algoritmos para que las computadoras de hace 40 años, hicieran el resto. Decía el New York Times:

 “Ahora la conjetura de los cuatro colores ha sido demostrada por dos matemáticos de la Universidad de Illinois. Han usado una herramienta invaluable que matemáticos de otras épocas no tuvieron. La prueba descansa en su mayor parte en las 1200 horas de cálculos de computadora, lo cual significó unas diez mil millones de decisiones lógicas que había que hacer. La prueba de esta conjetura de los cuatro colores quizás no tenga una aplicación práctica, sin embargo, es uno de los mayores retos intelectuales de los seres humanos. Nos da en algún sentido una nueva visión de la naturaleza del espacio bidimensional y de las formas en que ese espacio puede dividirse en porciones discretas”.

            Así el Teorema de los cuatro colores quedaba demostrado aunque con la resistencia de muchos matemáticos por el uso tan potente de las computadoras. Una crítica de la época decía

“Una buena prueba matemática es similar a un poema, ¡pero esto es una guía teléfonica”

  La historia de este problema ilustra de una manera clara la aventura del pensamiento matemático: se formula el problema. El problema va ganando espacio en la comunidad científica. Se resiste. Éxitos parciales y estrepitosos fracasos. Muchos hacen aportes que serán esenciales para la solución, aunque tal vez nunca lo sabrán. El contexto social y tecnológico acompaña este proceso: lo que no es abordable en un momento, lo es a los pocos años. Finalmente la solución del problema. Parece el esquema del guión de una película de aventuras.